Suponha que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme. Calcule (a) seu momento de inércia e (b) sua energia cinética rotacional. (c) Suponha que esta energia pudesse ser utilizada por nós. Por quanto tempo a Terra poderia fornecer a potência de 1 kW a cada um dos 4,2 \times 10^{9} habitantes do planeta? (Calcule todas as quantidades em relação ao eixo da Terra). R: 9,7 \times 10^{37} \mathrm{kgm}^{2} ; 2,56 \mathrm{X} 10^{29} \mathrm{~J} ; 1,9 \times 10^{9} anos.

Passo 1

O enunciado pede para modelar a Terra como uma esfera de densidade uniforme e calcular:
– (a) o momento de inércia em relação ao eixo de rotação;
– (b) a energia cinética rotacional;
– (c) o tempo em que essa energia sustentaria uma potência de 1\\ \text{kW} para cada um dos 4{,}2\times10^{9} habitantes.
Para isso vamos usar as fórmulas clássicas de um corpo rígido em rotação: momento de inércia de esfera uniforme, energia cinética rotacional e relação energia / potência.

Passo 2

O momento de inércia de uma esfera homogênea de massa M e raio R em torno de seu diâmetro é
I = \frac{2}{5}\,M\,R^{2}.
Tomando os valores padronizados
M = 5{,}97\times10^{24}\\ \text{kg}, \quad R = 6{,}37\times10^{6}\\ \text{m},
temos
I = \frac{2}{5}\,(5{,}97\times10^{24})(6{,}37\times10^{6})^{2} \approx 9{,}7\times10^{37}\\ \text{kg}\,\text{m}^{2}.

Passo 3

A energia cinética rotacional de um corpo é
K = \tfrac12\,I\,\omega^{2},
onde \omega é a velocidade angular da Terra. Como ela gira em um dia sideral de aproximadamente T = 86400\\ \text{s},
\omega = \frac{2\pi}{T} \approx 7{,}27\times10^{-5}\\ \text{rad/s}.
Logo
K = \tfrac12\,(9{,}7\times10^{37})(7{,}27\times10^{-5})^{2} \approx 2{,}56\times10^{29}\\ \text{J}.

Passo 4

Se toda essa energia fosse usada para suprir uma potência total
P_{\rm total} = N \times 1\\ \text{kW} = (4{,}2\times10^{9})\times(1{,}0\times10^{3}\\ \text{W}) = 4{,}2\times10^{12}\\ \text{W},
o tempo de funcionamento seria
t = \frac{K}{P_{\rm total}} = \frac{2{,}56\times10^{29}}{4{,}2\times10^{12}}\\ \text{s} \approx 6{,}1\times10^{16}\\ \text{s}.
Convertendo para anos (usando 1\\ \text{ano}\approx3,15\times10^{7}\\ \text{s}):
t \approx \frac{6{,}1\times10^{16}}{3{,}15\times10^{7}} \approx 1{,}9\times10^{9}\\ \text{anos}.

Resposta

(a) I \approx 9{,}7\times10^{37}\\ \text{kg}\,\text{m}^{2}
(b) K \approx 2{,}56\times10^{29}\\ \text{J}
(c) t \approx 1{,}9\times10^{9}\\ \text{anos}

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