Suponha que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme. Calcule (a) seu momento de inércia e (b) sua energia cinética rotacional. (c) Suponha que esta energia pudesse ser utilizada por nós. Por quanto tempo a Terra poderia fornecer a potência de 1 kW a cada um dos
habitantes do planeta? (Calcule todas as quantidades em relação ao eixo da Terra). R:
anos.
Passo 1
O enunciado pede para modelar a Terra como uma esfera de densidade uniforme e calcular:
– (a) o momento de inércia em relação ao eixo de rotação;
– (b) a energia cinética rotacional;
– (c) o tempo em que essa energia sustentaria uma potência de para cada um dos
habitantes.
Para isso vamos usar as fórmulas clássicas de um corpo rígido em rotação: momento de inércia de esfera uniforme, energia cinética rotacional e relação energia / potência.
– (a) o momento de inércia em relação ao eixo de rotação;
– (b) a energia cinética rotacional;
– (c) o tempo em que essa energia sustentaria uma potência de
Para isso vamos usar as fórmulas clássicas de um corpo rígido em rotação: momento de inércia de esfera uniforme, energia cinética rotacional e relação energia / potência.
Passo 2
O momento de inércia de uma esfera homogênea de massa
e raio
em torno de seu diâmetro é
Tomando os valores padronizados
temos
Passo 3
A energia cinética rotacional de um corpo é
onde
é a velocidade angular da Terra. Como ela gira em um dia sideral de aproximadamente
,
Logo
Passo 4
Se toda essa energia fosse usada para suprir uma potência total
o tempo de funcionamento seria
Convertendo para anos (usando
):
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)