Calcule a carga total sobre a superfície plana sigma dada por x=2 u+v, y=3 u+4 v e z= 5 u+2 v, 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1, sendo rhos=x+y+z(mC / m^2) a densidade superficial de carga em sigma. (2,5 pto).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de carga total sobre uma superfície plana. A superfície sigma está parametrizada pelas equações x = 2u + v, y = 3u + 4v e z = 5u + 2v, onde u e v variam de 0 a 1. A densidade superficial de carga é dada por rhos = x + y + z em mC/m^2. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a densidade de carga rhos em termos das variáveis u e v. Substituindo as parametrizações de x, y e z:
rhos = x + y + z = (2u + v) + (3u + 4v) + (5u + 2v) = 10u + 7v

Passo 3

Em seguida, vamos determinar o elemento de área dS na superfície sigma. Para isso, calculamos os vetores tangentes partial rpartial u e partial rpartial v:
partial rpartial u = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) = (2, 3, 5)
partial rpartial v = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v ) = (1, 4, 2)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial desses vetores para obter um vetor normal à superfície:
partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k 2 & 3 & 5 1 & 4 & 2 = i(3 cdot 2 - 5 cdot 4) - j(2 cdot 2 - 5 cdot 1) + k(2 cdot 4 - 3 cdot 1)
= i(-14) - j(-1) + k(5) = (-14, 1, 5)

Passo 5

O módulo desse vetor nos dá o elemento de área dS:
| partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz(-14)^2 + 1^2 + 5^2 = raiz196 + 1 + 25 = raiz222 approx 14.8997 , m^2

Passo 6

Agora, podemos expressar a carga total Q como uma integral dupla sobre os limites de u e v:
Q = integral duplasigma rhos , dS = integral0^1 integral0^1 (10u + 7v) cdot raiz222 , du , dv

Passo 7

Calculamos a integral:
Q = raiz222 integral0^1 integral0^1 (10u + 7v) , du , dv = raiz222 ( integral0^1 10u , du + integral0^1 7v , dv )
= raiz222 ( 10 cdot 12 + 7 cdot 12 ) = raiz222 cdot 172 approx 14.8997 cdot 8.5 approx 126.7495 , mC

Resposta

A carga total sobre a superfície sigma é aproximadamente 126.75 , mC.

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