Calcule a carga total sobre a superfície plana dada por e e , sendo a densidade superficial de carga em . .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de carga total sobre uma superfície plana. A superfície está parametrizada pelas equações , e , onde e variam de 0 a 1. A densidade superficial de carga é dada por em . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a densidade de carga em termos das variáveis e . Substituindo as parametrizações de , e :
Passo 3
Em seguida, vamos determinar o elemento de área na superfície . Para isso, calculamos os vetores tangentes e :
Passo 4
Calculamos o produto vetorial desses vetores para obter um vetor normal à superfície:
= i(-14) - j(-1) + k(5) = (-14, 1, 5)
Passo 5
O módulo desse vetor nos dá o elemento de área dS:
| partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz(-14)^2 + 1^2 + 5^2 = raiz196 + 1 + 25 = raiz222 approx 14.8997 , m^2
Passo 6
Agora, podemos expressar a carga total Q como uma integral dupla sobre os limites de u e v:
Q = integral duplasigma rhos , dS = integral0^1 integral0^1 (10u + 7v) cdot raiz222 , du , dv
Passo 7
Calculamos a integral:
Q = raiz222 integral0^1 integral0^1 (10u + 7v) , du , dv = raiz222 ( integral0^1 10u , du + integral0^1 7v , dv )