Calcule, caso exista

Passo 1

A questão pede para calcular o limite quando x→0 de tfrac11-cos x - tfrac2x^2. O conteúdo principal é limites de funções usando expansão em série de Taylor de cos x. Vamos precisar do polinômio de Taylor de cos x até ordem 4.

Passo 2

Sabendo que cos x = 1 - tfracx^22 + tfracx^424 + o(x^4), temos
1 - cos x = x^22 - x^424 + o(x^4)
Logo, para inverter essa expressão, escrevemos
11-cos x = 1tfracx^22l(1 - tfracx^212 + o(x^2)r)

Passo 3

Ao aplicar a expansão de 1/(1 + u) = 1 - u + o(u) com u = -tfracx^212 + o(x^2), obtemos
11-cos x = 2x^2l(1 + x^212 + o(x^2)r) = 2x^2 + 212 + o(1)

Passo 4

Agora basta subtrair tfrac2x^2 e observar o termo constante:
11-cos x - 2x^2 = 212 + o(1) = 16 + o(1)
Portanto, quando x→0, essa diferença tende a tfrac16.

Resposta

tfrac16

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