Suponha que
é diferenciável em
. Seja
e
. Encontre expressões para
e
.
Passo 1
Estamos com uma função f diferenciável em ℝ e duas composições: F(x)=f(e^x) e G(x)=e^{f(x)}. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, pois cada uma dessas derivadas envolve a derivada de uma função composta.
Passo 2
Para encontrar F′(x), definimos u=e^x. Assim F(x)=f(u). Pela regra da cadeia, a derivada de f(u) em relação a x é f′(u)⋅u′(x). Como u′(x)=e^x, temos F′(x)=f′(ex)⋅ex.
Passo 3
Para encontrar G′(x), definimos v=f(x). Então G(x)=e^v. De novo aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^v é e^v⋅v′(x). Como v′(x)=f′(x), obtemos G′(x)=e^{f(x)}⋅f′(x).
Resposta
F′(x)=f′(ex)⋅ex e G′(x)=e^{f(x)}⋅f′(x)