Suponha que f é diferenciável em R. Seja G(x)=e^f(x) e F^prime(x). Encontre expressões para G^prime(x) e .

Passo 1

Estamos com uma função f diferenciável em ℝ e duas composições: F(x)=f(e^x) e G(x)=e^{f(x)}. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, pois cada uma dessas derivadas envolve a derivada de uma função composta.

Passo 2

Para encontrar F′(x), definimos u=e^x. Assim F(x)=f(u). Pela regra da cadeia, a derivada de f(u) em relação a x é f′(u)⋅u′(x). Como u′(x)=e^x, temos F′(x)=f′(ex)⋅ex.

Passo 3

Para encontrar G′(x), definimos v=f(x). Então G(x)=e^v. De novo aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^v é e^v⋅v′(x). Como v′(x)=f′(x), obtemos G′(x)=e^{f(x)}⋅f′(x).

Resposta

F′(x)=f′(ex)⋅ex e G′(x)=e^{f(x)}⋅f′(x)

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