(1,5 ponto) Considere a função abaixo: (i) determine a direção de máxima variação da função a partir do ponto (1,1); (ii) determine a direção de variação nula neste ponto.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar, no ponto (1,1, z), duas direções: a de máxima variação de f e a de variação nula. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e gradiente, lembrando que a direção de máxima variação é dada pelo gradiente e a variação nula acontece em qualquer vetor ortogonal ao gradiente.
Passo 2
Pra achar a direção de máxima variação, a gente precisa calcular o gradiente, isto é, o vetor das derivadas parciais. Lembrando que a derivada direcional de f em v é ∇f·v.
Passo 3
As derivadas parciais são:
Passo 4
No ponto (1,1), temos x2+y2=2, então
Passo 5
A direção de máxima variação é o vetor gradiente normalizado. Seu módulo é
, logo a direção unitária fica
Passo 6
Uma direção de variação nula é qualquer vetor unitário ortogonal ao gradiente. Por exemplo, tomando
Resposta
Direção de máxima variação:
. Direção de variação nula (exemplo):
.