(1,5 ponto) Considere a função abaixo: (i) determine a direção de máxima variação da função a partir do ponto (1,1); (ii) determine a direção de variação nula neste ponto.
f(x, y, z)=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar, no ponto (1,1, z), duas direções: a de máxima variação de f e a de variação nula. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e gradiente, lembrando que a direção de máxima variação é dada pelo gradiente e a variação nula acontece em qualquer vetor ortogonal ao gradiente.

Passo 2

Pra achar a direção de máxima variação, a gente precisa calcular o gradiente, isto é, o vetor das derivadas parciais. Lembrando que a derivada direcional de f em v é ∇f·v.

Passo 3

As derivadas parciais são:
partial fpartial x=2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2=4x y^2(x^2+y^2)^2,partial fpartial y=-2y(x^2+y^2)-2y(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2=-4x^2y(x^2+y^2)^2,partial fpartial z=0

Passo 4

No ponto (1,1), temos x2+y2=2, então
nabla f(1,1)=l(4cdot1cdot1^22^2,,-4cdot1^2cdot12^2,,0r)=(1,-1,0)

Passo 5

A direção de máxima variação é o vetor gradiente normalizado. Seu módulo é raiz1^2+(-1)^2=raiz2, logo a direção unitária fica
1raiz2(1,-1,0)

Passo 6

Uma direção de variação nula é qualquer vetor unitário ortogonal ao gradiente. Por exemplo, tomando
v=1raiz2(1,1,0), temos nabla f(1,1)cdot v=1cdottfrac1raiz2+(-1)cdottfrac1raiz2=0, garantido variação nula.

Resposta

Direção de máxima variação: tfrac1raiz2(1,-1,0). Direção de variação nula (exemplo): tfrac1raiz2(1,1,0).

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