(1,0 ponto) Determine a derivada direcional da função
f(x, y, z)=4 y cdot e^(x^2-7) / 3 cdot cos (y cdot z+pi / 4)
na direção do vetor u=(1,-1,2) no ponto P0=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada direcional da função
f(x, y, z)=4,y,e^(x^2-7)/3cos(yz+pi/4)
na direção do vetor u=(1,-1,2) no ponto P0=(1,0,1). Esse problema envolve o uso de derivadas parciais para montar o gradiente de f e, em seguida, o produto escalar desse gradiente com o vetor unitário na direção de u.

Passo 2

Para achar o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais. Seja
A=e^(x^2-7)/3, B=cos(yz+pi/4)
Então f=4yAB e temos:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=4y,B\frac{dA}{dx}=4yB\cdot A\frac{2x}{3}=\frac{8x}{3},y,A,B,
$$
partial fpartial x=4y,BdAdx=4yBcdot A2x3=8x3,y,A,B,
partial fpartial y=4Addy(yB)=4Al(B+ycdot(-sin(yz+pi/4)),zr)=4Al(B-yzsin(yz+pi/4)r),

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P0=(1,0,1). Primeiro os valores intermediários:
Al(1,0,1r)=e^(1^2-7)/3=e^-2, Bl(1,0,1r)=cosl(0cdot1+pi/4r)=raiz22,
$$\sin(yz+\pi/4)\bigl(1,0,1\bigr)=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.
sin(yz+pi/4)l(1,0,1r)=sinpi4=raiz22
\frac{\partial f}{\partial x}(P_{0})=0,\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(P_{0})=4e{-2}\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2,e{-2},\quad
\frac{\partial f}{\partial z}(P_{0})=0.
partial fpartial x(P0)=0, partial fpartial y(P0)=4e^-2raiz22=2raiz2,e^-2, partial fpartial z(P0)=0 \nabla f(P_{0})=(0,,2\sqrt2,e^{-2},,0).
$$

Passo 4

O vetor direção u=(1,-1,2) precisa ser unitário. Seu módulo é
|u|=raiz1^2+(-1)^2+2^2=raiz6,
então
$$u_{\mathrm{unit}}=\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2).
$$

Passo 5

A derivada direcional de f na direção de u em P0 é o produto escalar
$$D_{u}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot u_{\mathrm{unit}}=(0,,2\sqrt2,e{-2},,0)\cdot\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)=-\frac{2\sqrt2,e{-2}}{\sqrt6}.
$$
Simplificando
[-\frac{2\sqrt2}{\sqrt6}e{-2}=-\frac{2}{\sqrt3}e{-2}.

Passo 6

final_answer

Resposta

-\nfrac{2}{\sqrt3}e^{-2}

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