(1,0 ponto) Determine a derivada direcional da função
na direção do vetor
no ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada direcional da função
na direção do vetor
Passo 2
Para achar o gradiente de
, calculamos as derivadas parciais. Seja
Então
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=4y,B\frac{dA}{dx}=4yB\cdot A\frac{2x}{3}=\frac{8x}{3},y,A,B,
$$
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
. Primeiro os valores intermediários:
$$\sin(yz+\pi/4)\bigl(1,0,1\bigr)=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.
\frac{\partial f}{\partial x}(P_{0})=0,\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(P_{0})=4e{-2}\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2,e{-2},\quad
\frac{\partial f}{\partial z}(P_{0})=0.
\frac{\partial f}{\partial y}(P_{0})=4e{-2}\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2,e{-2},\quad
\frac{\partial f}{\partial z}(P_{0})=0.
$$
Passo 4
O vetor direção
precisa ser unitário. Seu módulo é
então
$$u_{\mathrm{unit}}=\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2).
$$
Passo 5
A derivada direcional de
na direção de
em
é o produto escalar
$$D_{u}f(P_{0})=\nabla f(P_{0})\cdot u_{\mathrm{unit}}=(0,,2\sqrt2,e{-2},,0)\cdot\frac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)=-\frac{2\sqrt2,e{-2}}{\sqrt6}.
$$
Simplificando
[-\frac{2\sqrt2}{\sqrt6}e{-2}=-\frac{2}{\sqrt3}e{-2}.
Simplificando
[-\frac{2\sqrt2}{\sqrt6}e{-2}=-\frac{2}{\sqrt3}e{-2}.
Passo 6
final_answer
Resposta
-\nfrac{2}{\sqrt3}e^{-2}