Calcule, caso exista

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0(e^x+3x)^1/x. O conteúdo envolvido é limite do tipo 1^infty, então vamos usar transformações logarítmicas e expansão em série de Taylor.

Passo 2

Para lidar com a forma 1^infty, definimos
L=limxto0(e^x+3x)^1/x
Tomamos logaritmo para transformar a potência em produto:
ln L=limxto0lnl(e^x+3xr)x

Passo 3

Precisamos agora expandir e^x+3x para x pequeno. Usando a série de Taylor de e^x em torno de zero:
$$ex=1+x+\frac{x2}{2}+O(x^3).
$$
Logo
e^x=1+x+x^22+O(x^3)

Passo 4

Em seguida expandimos o logaritmo de 1+4x+tfracx^22+O(x^3):
$$\ln\bigl(1+4x+\tfrac{x2}{2}+O(x3))=4x+O(x^2).
$$
Então no limite:
lnl(1+4x+tfracx^22+O(x^3))=4x+O(x^2)

Passo 5

Por fim, voltamos da forma logarítmica:
L= e^ln L=e^4

Resposta

e^4

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