Seja g: R R derivável e seja f dada por f^prime(1). Verifique que g(1)=4 e calcule g^prime(1)=2 supondo que e .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de f(x)=x,g(x^2) e depois calcular f'(1), sabendo que g(1)=4 e g'(1)=2. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, pois g é derivável.

Passo 2

Seja u(x)=x e v(x)=g(x^2). Pela regra do produto temos:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Aqui u'(x)=1 e, aplicando a regra da cadeia em v(x), obtemos:
v'(x)=g'(x^2)cdotl(x^2r)'=g'(x^2)cdot2x

Passo 3

Substituindo esses resultados em f'(x) surge:
f'(x)=1cdot g(x^2)+xcdotl(g'(x^2)cdot2xr)=g(x^2)+2x^2,g'(x^2)

Passo 4

Para calcular f'(1), note que 1^2=1. Logo:
f'(1)=g(1)+2cdot1^2,g'(1)=4+2cdot2=8

Resposta

A derivada é f'(x)=g(x^2)+2x^2,g'(x^2) e, usando os valores dados, temos f'(1)=8.

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