(2,0 pontos) Determine a solução geral da EDO abaixo e também a solução do PVI.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 , condições iniciais y(0)=2 e y^prime(0)=3 çõ

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e depois impor condições iniciais para obter a solução do PVI. O conteúdo é resolução de EDOs lineares usando a equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada:
r^2 + 5r + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 + 5r + 6 = (r+2)(r+3) = 0 implies r1 = -2, ; r2 = -3

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 5

Agora calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t

Passo 6

Impondo as condições em t=0, primeiro y(0)=2
C1 + C2 = 2
segundo y'(0)=3
-2C1 - 3C2 = 3

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2 -2C1 -3C2 = 3
multiplicando a primeira por 2 e somando à segunda obtemos -C2 = 7, logo C2 = -7 e então C1 = 2 - (-7) = 9.

Resposta

Solução geral: y(t)=C1e^-2t+C2e^-3t. Solução do PVI: y(t)=9e^-2t-7e^-3t.

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