Calcule, caso exista

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o limite . O assunto aqui é cálculo de limites infinitesimais usando equivalentes de funções elementares quando a variável tende a zero.

Passo 2

Para resolver, a gente usa o fato de que, quando uto 0, vale a equivalência e, quando arctg(u)sim u, vale vto 0. Isso vem das séries de Taylor ou dos infinitésimos equivalentes.
No nosso caso, basta identificar ln(1+v)sim v e u=2x^2. À medida que v=3x^2, temos xto 0 e uto 0, então podemos aplicar as equivalências.

Passo 3

Substituindo essas aproximações no quociente, obtemos
e, simplificando, fica arctg(2x^2)ln(1+3x^2)sim2x^23x^2 .
O resultado é finito e constante, então esse é o valor do limite original e ele realmente existe.

Resposta

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