Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
e

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por f(x)=x|x| e g(x)=x^3. Esse problema envolve o cálculo de área entre curvas, para o qual precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção e depois montar integrais definidas.

Passo 2

Determinamos as interseções resolvendo x|x|=x^3. Como x|x| é dada por x^2 para x>=0 e por -x^2 para x<0, temos:
  • Para x>=0: x^2=x^3 x=0 ou x=1.
  • Para x<0: -x^2=x^3 x=-1 ou x=0.

Passo 3

Logo, os pontos de interseção são x=-1,0,1. Em [-1,0] vale f(x)=-x^2 e g(x)=x^3, e notamos que g(x)>= f(x). Em [0,1] temos f(x)=x^2 e g(x)=x^3, com f(x)>= g(x).

Passo 4

Agora montamos e calculamos as integrais de área:
integral-1^0l(g(x)-f(x)r),dx=integral-1^0(x^3+ x^2),dx=[x^44+x^33]-1^0=0-l(tfrac14-tfrac13r)=tfrac112,
integral0^1l(f(x)-g(x)r),dx=integral0^1(x^2- x^3),dx=[x^33-x^44]0^1=tfrac13-tfrac14=tfrac112

Resposta

tfrac16

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