Calcule a derivada das funções abaixo.
f(x)=4 e^-x / 5 cos (pi x+2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=4 e^{-x/5} cos(πx+2). O conteúdo principal é derivada de produto e uso da regra da cadeia para exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Separemos f(x) em u(x)=e^{-x/5} e v(x)=cos(πx+2), de modo que f(x)=4·u(x)·v(x). Vamos aplicar a regra do produto: f’(x)=4[u’(x)v(x)+u(x)v’(x)].

Passo 3

Calculemos u’(x) usando a regra da cadeia. Como u(x)=e^{g(x)} com g(x)=-x/5, temos g’(x)=-1/5, logo
u'(x)=e^-x/5cdotl(-tfrac15r)=-tfrac15e^-x/5
Para v(x)=cos(h(x)) com h(x)=πx+2, temos h’(x)=π, então
v'(x)=-sin(πx+2)cdotπ=-πsin(πx+2)

Passo 4

Substituindo u’(x) e v’(x) na regra do produto:
f'(x)=4l((-tfrac15e^-x/5)cos(πx+2)+e^-x/5(-πsin(πx+2))r)

Passo 5

Fatorando e^{-x/5} e o sinal negativo comum, obtemos a forma final:
f'(x)=-4e^-x/5l(tfrac15cos(πx+2)+πsin(πx+2)r)

Resposta

f'(x)=-4e^-x/5l(tfrac15cos(πx+2)+πsin(πx+2)r)

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