Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x)=4 e^{-x/5} cos(πx+2). O conteúdo principal é derivada de produto e uso da regra da cadeia para exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Separemos f(x) em u(x)=e^{-x/5} e v(x)=cos(πx+2), de modo que f(x)=4·u(x)·v(x). Vamos aplicar a regra do produto: f’(x)=4[u’(x)v(x)+u(x)v’(x)].
Passo 3
Calculemos u’(x) usando a regra da cadeia. Como u(x)=e^{g(x)} com g(x)=-x/5, temos g’(x)=-1/5, logo
Para v(x)=cos(h(x)) com h(x)=πx+2, temos h’(x)=π, então
Passo 4
Substituindo u’(x) e v’(x) na regra do produto:
Passo 5
Fatorando e^{-x/5} e o sinal negativo comum, obtemos a forma final: