Calcule, caso exista
Passo 1
Temos o limite
. O conteúdo é limite de função usando séries de Taylor e vamos precisar das expansões de
e
em torno de
.
Passo 2
Substituindo
diretamente, o numerador
e o denominador
, configurando uma forma indeterminada
. Por isso escolhemos usar a expansão em série de potências.
Passo 3
Cálculo das expansões de Taylor até ordem mais baixa não nula:
Passo 4
Com essas expansões, o quociente fica
$$
\frac{\ln(1+x^2)}{x,\arctan x} =\frac{x2-\frac{x4}{2}+o(x4)}{x\bigl(x-\frac{x3}{3}+o(x^3)\bigr)} =\frac{x2\bigl(1-\frac{x2}{2}+o(x2)\bigr)}{x2\bigl(1-\frac{x2}{3}+o(x2)\bigr)}
=\frac{1-\frac{x2}{2}+o(x2)}{1-\frac{x2}{3}+o(x2)}.
$$
Passo 5
Fazendo
na expressão acima, o termo de ordem zero domina e o limite vale
.
Resposta
1