Calcule, caso exista

Passo 1

Temos o limite limxto0ln(1+x^2)x,arctan x. O conteúdo é limite de função usando séries de Taylor e vamos precisar das expansões de ln(1+x^2) e arctan x em torno de x=0.

Passo 2

Substituindo x=0 diretamente, o numerador ln(1+0^2)=0 e o denominador 0cdotarctan0=0, configurando uma forma indeterminada tfrac00. Por isso escolhemos usar a expansão em série de potências.

Passo 3

Cálculo das expansões de Taylor até ordem mais baixa não nula:
ln(1+x^2)=x^2-x^42+o(x^4)
arctan x=x-x^33+o(x^3)

Passo 4

Com essas expansões, o quociente fica
$$
\frac{\ln(1+x^2)}{x,\arctan x} =\frac{x2-\frac{x4}{2}+o(x4)}{x\bigl(x-\frac{x3}{3}+o(x^3)\bigr)} =\frac{x2\bigl(1-\frac{x2}{2}+o(x2)\bigr)}{x2\bigl(1-\frac{x2}{3}+o(x2)\bigr)} ln(1+x^2)x,arctan x =x^2-x^42+o(x^4)xl(x-x^33+o(x^3)r) =x^2l(1-x^22+o(x^2)r)x^2l(1-x^23+o(x^2)r)
=\frac{1-\frac{x2}{2}+o(x2)}{1-\frac{x2}{3}+o(x2)}.
$$

Passo 5

Fazendo xto0 na expressão acima, o termo de ordem zero domina e o limite vale 1.

Resposta

1

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