Calcule, caso exista
lim x 0(1+sen 2 x)^1 / sen x

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxto0(1+sin2x)^1/sin x. O conteúdo envolvido é limite de função do tipo “forma exponencial” e vamos precisar usar a técnica de passar para logaritmo e aplicar expansão de série ou equivalências para pequenas variáveis.

Passo 2

Para lidar com expoentes, definimos L=limxto0(1+sin2x)^1/sin x e estudamos ln L = limxto0ln(1+sin2x)sin x. Isso transforma o problema numa forma de quociente que podemos avaliar usando equivalências de pequenos argumentos.

Passo 3

Sabemos que, para uto0, vale ln(1+u)sim u. Aqui, u=sin2x e sin2xsim2x quando xto0. Também usamos sin xsim x. Assim,
ln(1+sin2x)sin xsimsin2xsin xsim2xx=2

Passo 4

Como o limite do logaritmo é 2, concluímos que ln L=2 e, portanto, L=e^2.

Resposta

e^2

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