Calcule, caso exista,

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^2sen!l(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
e pede o limite
limxto0f(x)-f(0)x-0,
que é a derivada de f em 0. Vamos usar propriedades de limites e a desigualdade l|sen tr|<=1.

Passo 2

Para xneq0 temos
f(x)-f(0)x-0 =x^2senl(tfrac1xr)-0x =x,sen!l(tfrac1xr)

Passo 3

Usando que l|sen!l(tfrac1xr)r|<=1, obtemos
l|x,sen!l(tfrac1xr)r|<=|x|
Como limxto0|x|=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0x,sen!l(tfrac1xr)=0

Resposta

limxto0f(x)-f(0)x-0=0

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