Nos exercícios abaixo, encontre os valores de
x>0
para os quais a série converge:
(4)
1+x^22+x^43+ldots=sumk=0^infty x^2 kk+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar, para x>0, os valores de x tais que a série
sumk=0^infty x^2kk+1
converge. O conteúdo a ser usado é teste de convergência de série de termos não negativos via teste da raiz (ou teste da razão) e análise do caso limite.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
ak = x^2kk+1
Pelo teste da raiz, calculamos
L ;=;limsupktoinfty raiz[k]ak ;=;limktoinftyl(x^2kk+1r)^1/k ;=;x^2;limktoinfty(k+1)^-1/k
Como limktoinfty(k+1)^1/k=1, temos limktoinfty(k+1)^-1/k=1. Logo
L = x^2

Passo 3

O teste da raiz diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1. Assim:
  • Converge se x^2 < 1 Long<=ftrightarrow x<1
  • Diverge se x^2 > 1 Long<=ftrightarrow x>1
Falta checar o caso x=1. Para x=1, a série torna-se
sumk=0^infty1k+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

A série converge exatamente para
0 < x < 1

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