xlii) lim x 1^+(x-1) tan (pi x / 2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1^+(x-1)tanl(tfracpi x2r).
O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas com assíntotas; vamos usar uma mudança de variável para estudar o comportamento perto de x=1.

Passo 2

Faça a substituição
x = 1 + h,
com hto0^+. Então
x-1 = h e tanl(tfracpi x2r) = tanl(tfracpi2 + tfracpi h2r)
Logo o limite vira
limhto0^+h;tanl(tfracpi2 + tfracpi h2r)

Passo 3

Use a identidade
tanl(tfracpi2 + thetar) = -cot(theta)
Aqui theta=tfracpi h2, logo
tanl(tfracpi2 + tfracpi h2r) = -cotl(tfracpi h2r)
A expressão do limite fica
limhto0^+l(-,h,cot(tfracpi h2)r)

Passo 4

Para thetato0 vale cot(theta)sim1/theta. Tomando theta=tfracpi h2, obtemos
cotl(tfracpi h2r)sim 1tfracpi h2 = 2pi h
Substituindo na expressão,
-,h,cotl(tfracpi h2r) sim -,h;2pi h = -2pi
Portanto o limite é -2/pi.

Resposta

-tfrac2pi

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