Calcule, caso exista:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando o comportamento da função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na função:
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.
Passo 3
Vamos examinar o limite ao se aproximar de
ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes, isso indica que o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo x, o limite é 0.
Passo 4
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Ao se aproximar pelo eixo y, o limite também é 0.
Passo 5
Caminho 3:
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Agora, ao deixar
:
Então, por qualquer linha reta passando por
, o limite é 0.
Passo 6
Vamos testar um caminho não linear para ver se o limite continua sendo 0.
Caminho 4:
Substituindo
na função:
Agora, ao deixar
:
Mesmo por esse caminho, o limite é 0.
Passo 7
Para garantir que o limite é 0, vamos usar coordenadas polares. Isso nos ajuda a verificar o comportamento da função independentemente do caminho.
Em coordenadas polares:
Substituindo na função:
Agora, ao deixar
:
Pois
tende a 0, e
está limitado.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.