Calcule, caso exista:
c) lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis. O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 3 cdot 0^2 cdot 00^2 + 0^2 = 00 e na função:
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos investigar mais a fundo para ver se o limite realmente existe.

Passo 3

Vamos examinar o limite ao se aproximar de 3x^2 cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos valores diferentes, isso indica que o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: 3 cdot 0^2 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Substituindo na função:
Ao se aproximar pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Caminho 3: 3x^2 cdot kxx^2 + (kx)^2 = 3k x^3x^2(1 + k^2) = 3k x1 + k^2 , onde limx to 0 3k x1 + k^2 = 0 é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, ao deixar :
Então, por qualquer linha reta passando por , o limite é 0.

Passo 6

Vamos testar um caminho não linear para ver se o limite continua sendo 0.
Caminho 4: 3x^2 cdot x^2x^2 + (x^2)^2 = 3x^4x^2 + x^4 = 3x^21 + x^2
Substituindo limx to 0 3x^21 + x^2 = 0 na função:
Agora, ao deixar :
Mesmo por esse caminho, o limite é 0.

Passo 7

Para garantir que o limite é 0, vamos usar coordenadas polares. Isso nos ajuda a verificar o comportamento da função independentemente do caminho.
Em coordenadas polares:
x = r cos theta y = r sin theta
Substituindo na função:
3 (r cos theta)^2 (r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = 3 r^2 cos^2 theta cdot r sin thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 3 r^3 cos^2 theta sin thetar^2 = 3 r cos^2 theta sin theta
Agora, ao deixar limr to 0 3 r cos^2 theta sin theta = 0 :
Pois tende a 0, e está limitado.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2 = 0

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