(Cálculo da derivada pela definição - 2,0 pontos) Ache d/y d/x usando a definição de derivada.
y = x^3 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cálculo da derivada usando a definição de derivada. A gente precisa encontrar para a função . Para isso, vamos usar a definição básica de derivada, que é essencial para entender como a inclinação de uma curva muda em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de em relação a é o limite da razão entre a variação de e a variação de quando essa variação de tende a zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui, é a função que estamos derivando.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, vamos calcular :
Agora, precisamos expandir . Isso resulta em:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos montar a diferença :
Simplificando, os termos e se cancelam, ficando:

Passo 5

Vamos agora dividir essa diferença por :
Podemos simplificar dividindo cada termo por :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .

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