(Derivações: regra da cadeia e derivação implícita - 2,0 pontos) Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular
na equação . Vamos usar derivação implícita e a regra da cadeia para resolver isso. Precisamos lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia porque
é uma função de
.
A derivada de em relação a
é:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia aqui.
A derivada de em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação derivada:
Vamos organizar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 4
Isolando
:
Podemos simplificar se necessário, mas essa é a expressão da derivada.