Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
lim h 0 (x+h)^3-x^3h.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limhto 0(x+h)^3 - x^3h,
que é justamente o quociente de diferença para a função f(x)=x^3. Vamos usar simplificação algébrica para avaliar esse limite. Note que, para o quociente, precisamos de hneq0, mas como é limite, isso não prejudica: o domínio natural de f é R e o domínio da expressão do quociente é hinRmid hneq0.

Passo 2

Expandimos (x+h)^3 pelo binômio de Newton:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Subtraindo x^3, o numerador fica
(x+h)^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3

Passo 3

Formamos o quociente e fatoramos h:
(x+h)^3 - x^3h = 3x^2h + 3xh^2 + h^3h = 3x^2 + 3xh + h^2

Passo 4

Agora basta tomar o limite de cada termo quando hto0:
limhto0(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3xcdot0 + 0^2 = 3x^2

Resposta

3x^2

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