Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
11) sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede a convergência e, em caso afirmativo, a soma da série
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k
O conteúdo principal aqui é o da série geométrica, pois cada termo pode ser decomposto em potências de razão constante.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral separando as potências:
2^k+1+2cdot7^k9^k =2cdot2^k9^k+2cdot7^k9^k =2l(29r)^k+2l(79r)^k
Logo a série original se torna
sumk=2^infty2l(tfrac29r)^k ;+; sumk=2^infty2l(tfrac79r)^k

Passo 3

Cada uma dessas somas é uma série geométrica do tipo sumk=2^inftyr^k com lvert rrvert<1:
  • r1=tfrac29,
  • r2=tfrac79.
    Como tfrac29<1 e tfrac79<1, ambas convergem.

Passo 4

A fórmula da soma de uma série geométrica a partir de k=2 é
sumk=2^inftyr^k =r^21-r
Aplicando aos dois casos:
  1. Para 2sumk=2^infty(tfrac29)^k:
2cdotl(tfrac29r)^21-tfrac29 =2cdottfrac481tfrac79 =2cdot481cdot97 = 863
  1. Para 2sumk=2^infty(tfrac79)^k:
2cdotl(tfrac79r)^21-tfrac79 =2cdottfrac4981tfrac29 =2cdot4981cdot92 = 499

Passo 5

Somando os dois resultados:
863+499 =863+49cdot763 =8+34363 =35163 =397

Resposta

A série converge e
sumk=2^infty2^k+1+2cdot7^k9^k =397

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