Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
(24) sum n^2+32 n^4+n-6

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyn^2+32n^4+n-6
O conteúdo envolvido é teste de comparação (ao limite) de séries e p-série. Vamos compará-la com a p-série de termo geral 1/n^2.

Passo 2

Definimos
an = n^2+32n^4+n-6,
e escolhemos como série parâmetro
bn = 1n^2
Sabemos que sum bn converge porque é p-série com p=2>1.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação ao limite, calculando
limntoinftyanbn =limntoinfty n^2+32n^4+n-61n^2 =limntoinftyn^4+3n^22n^4+n-6 =12

Passo 4

Como esse limite é finito e estritamente positivo, o teste de comparação ao limite garante que sum an converge se, e somente se, sum bn converge. Logo, sum an converge.

Resposta

A série converge, por comparação ao limite com a p-série sum 1/n^2.

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