Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries.
31) sum raizk1+k

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação a fim de decidir se a série
sumk=1^infty raizk1+k
converge ou diverge. Como os termos são positivos, podemos comparar com uma série p-série conhecida.

Passo 2

Recordamos que a p-série
sumk=1^infty1k^p
converge se, e somente se, p>1, e diverge se p<=1. No nosso caso, observamos que, para k grande,
raizk1+ksim k^1/2k=k^-1/2,
logo a comparação natural é com sum k^-1/2, que é uma p-série com p=tfrac12<=1 e, portanto, diverge.

Passo 3

Para tornar o argumento rigoroso, note que, para todo k>=1,
1+k<=2k Longrightarrow raizk1+k>= raizk2k =12,k^1/2

Passo 4

Como
sumk=1^infty12,k^1/2 =12,sumk=1^infty1k^1/2
é uma constante multiplicativa de uma p-série com p=tfrac12<=1, essa série diverge. Pelo teste da comparação direta (termos maiores que os de uma série divergente), concluímos que
sumk=1^inftyraizk1+k
também diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da comparação com a p-série sum k^-1/2.

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