Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(f) lim x 4 1(x-4)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 41(x-4)^3
caso exista, observando também o domínio da função f(x)=1(x-4)^3. Vamos usar conceitos de limite e domínio de funções racionais.

Passo 2

Identificamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, temos
x-4neq 0 Longrightarrow xneq 4
Logo o domínio é (-infty,4)cup(4,infty). O ponto x=4 não pertence ao domínio, por isso faz sentido estudar limites laterais em x=4.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita, quando xto 4^+. Nesse caso x-4>0 é um número positivo muito pequeno, então
(x-4)^3>0e (x-4)^3to 0^+
Como estamos tomando o inverso de um número positivo que tende a zero, temos
limxto 4^+1(x-4)^3 = +infty

Passo 4

Calculamos o limite pela esquerda, quando xto 4^-. Agora x-4<0 é um número negativo muito pequeno, e como o expoente é ímpar,
(x-4)^3<0e (x-4)^3to 0^-
O inverso de um número negativo tendendo a zero é -infty, logo
limxto 4^-1(x-4)^3 = -infty

Passo 5

Para existir o limite limxto4f(x) é preciso que as duas “metades” coincidam em um mesmo valor (finito ou infinito). Como
limxto 4^-f(x) = -infty neq +infty = limxto 4^+f(x),
não há valor único. Portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto 41(x-4)^3 não existe, pois as duas raízes laterais divergem para sinais opostos.

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