Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(s) lim x 0 1-cos xx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto01-cos xx^2.
Esse limite apresenta a forma indeterminada tfrac00, ent~ao vamos usar o Teorema de l’H^opital. Alm’em disso, devemos observar que a fun\c{c}~ao s’o faz sentido quando o denominador n~ao 'e zero.

Passo 2

Determinamos o domínio da função
f(x)=1-cos xx^2
O único ponto proibido é x=0, pois aí o denominador se anula. Portanto
D=Rsetminus0

Passo 3

Quando xto0, temos
1-cos xto0 e x^2to0,
logo `e uma indetermina\c{c}~ao tfrac00. Podemos aplicar o Teorema de l’H^opital, diferenciando numerador e denominador.

Passo 4

Diferenciando, obtemos
ddx(1-cos x)=sin x, ddx(x^2)=2x
Assim
limxto01-cos xx^2 = limxto0sin x2x

Passo 5

Sabemos que
limxto0sin xx=1.
Logo
limxto0sin x2x =12limxto0sin xx =12cdot1 =12

Resposta

12

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