Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(q) lim x pi4 cos x-sen xtan x-1

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular o limite
limxtopi4 cos x - sin xtan x - 1
O conteúdo principal é cálculo de limites de forma indeterminada 0/0, para isso podemos usar a regra de L’Hôpital ou fazer manipulações algébricas. Também é importante notar que a função só está definida quando tan x neq 1.

Passo 2

Vamos verificar o que acontece ao substituir diretamente x=pi/4. O numerador fica
costfracpi4 - sintfracpi4 = tfracraiz22 - tfracraiz22 = 0
e o denominador fica
tantfracpi4 - 1 = 1 - 1 = 0
Como obtemos a forma indeterminada 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
Para o numerador f(x)=cos x - sin x, temos
f'(x) = -sin x - cos x
Para o denominador g(x)=tan x - 1, temos
g'(x) = sec^2 x
Então o limite passa a ser
limxtopi4 -sin x - cos xsec^2 x
Substituindo x=pi/4:
-sintfracpi4 - costfracpi4 = -tfracraiz22 - tfracraiz22 = -raiz2,
sec^2tfracpi4 = l(tfrac1cos(pi/4)r)^2 = (raiz2)^2 = 2
Logo,
limxtopi4 cos x - sin xtan x - 1 = -raiz22 = -raiz22

Passo 4

A função original só existe quando tan x neq 1, ou seja, x neq pi4 + kpi. Mesmo assim, podemos calcular o limite ao nos aproximarmos de pi/4.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}

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