Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(o) lim x pi2 cos xx-pi2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limx to pi2 cos xx - pi2
Esse é um problema de limite de função que, ao se aproximar de x=pi2, aparenta dar uma forma 0/0. Vamos usar conceitos de indeterminação e a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Primeiro, cheque o comportamento das partes ao aproximar xtopi2:
  • O numerador cos x tende a cosl(tfracpi2r)=0.
  • O denominador x-tfracpi2 tende a 0.
    Logo temos a forma indeterminada 0/0. Note também que a função cos xx-tfracpi2 não está definida em x=pi2, mas isso não impede de buscarmos o limite.

Passo 3

Como é 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
limx to pi2 cos xx - pi2 =limx to pi2 -sin x1 =-sin!l(tfracpi2r) =-1

Resposta

-1

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