Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
Os pontos de inflexão do gráfico de f, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão do gráfico da função f(x) = 1 - x^2(x - 2)^2 . Ponto de inflexão é onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para convexa ou vice-versa. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de f(x) , que nos dá a inclinação da função em cada ponto. Usaremos a regra do quociente, que diz que se temos f(x) = u(x)v(x) , então:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui, u(x) = 1 - x^2 e v(x) = (x - 2)^2 .

Passo 3

Calculando u'(x) e v'(x) :
u'(x) = ddx(1 - x^2) = -2x
v'(x) = ddx(x - 2)^2 = 2(x - 2)

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (-2x)(x - 2)^2 - (1 - x^2) cdot 2(x - 2)(x - 2)^4
Vamos simplificar o numerador:
-2x(x - 2)^2 - 2(1 - x^2)(x - 2) = -2x(x - 2)^2 - 2(x - 2)(1 - x^2)
Podemos fatorar -2(x - 2) :
-2(x - 2)[x(x - 2) + (1 - x^2)] = -2(x - 2)[x^2 - 2x + 1 - x^2] = -2(x - 2)(-2x + 1)
Então, a derivada primeira fica:
f'(x) = -2(x - 2)(-2x + 1)(x - 2)^4 = 2(2x - 1)(x - 2)^3

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada segunda f''(x) , que nos ajudará a identificar a concavidade da função. Usaremos novamente a regra do quociente para derivar f'(x) = 2(2x - 1)(x - 2)^3 :
f''(x) = ddx[2(2x - 1)(x - 2)^3]
Aqui, u(x) = 2(2x - 1) e v(x) = (x - 2)^3 .

Passo 6

Calculando u'(x) e v'(x) :
u'(x) = ddx[2(2x - 1)] = 4
v'(x) = ddx(x - 2)^3 = 3(x - 2)^2

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para a derivada segunda:
f''(x) = 4(x - 2)^3 - 2(2x - 1) cdot 3(x - 2)^2(x - 2)^6
Vamos simplificar o numerador:
4(x - 2)^3 - 6(2x - 1)(x - 2)^2 = 2(x - 2)^2[2(x - 2) - 3(2x - 1)]
Calculando dentro dos colchetes:
2(x - 2) - 3(2x - 1) = 2x - 4 - 6x + 3 = -4x - 1
Então, a derivada segunda fica:
f''(x) = 2(x - 2)^2(-4x - 1)(x - 2)^6 = -8x - 2(x - 2)^4

Passo 8

Os pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde f''(x) = 0 ou não está definida, desde que haja uma mudança na concavidade.
Vamos resolver f''(x) = 0 :
-8x - 2(x - 2)^4 = 0
O numerador deve ser zero:
-8x - 2 = 0 implies -8x = 2 implies x = -28 = -14
Além disso, a derivada segunda não está definida em x = 2 , mas esse ponto é uma assíntota vertical da função original, então não consideramos como ponto de inflexão.

Passo 9

Agora, precisamos verificar se há realmente uma mudança na concavidade nesse ponto x = -14 . Vamos analisar o sinal de f''(x) antes e depois desse valor.
  • Para x < -14 , por exemplo, x = -1 :
f''(-1) = -8(-1) - 2(-1 - 2)^4 = 8 - 281 = 681 > 0 (côncava para cima) ô
  • Para x > -14 , por exemplo, x = 0 :
f''(0) = -0 - 2(0 - 2)^4 = -216 = -18 < 0 (côncava para baixo) ô
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por x = -14 , esse é um ponto de inflexão.

Resposta

O gráfico da função f(x) = 1 - x^2(x - 2)^2 possui um ponto de inflexão no ponto x = -14 .

Exercícios relacionados