Seja
uma função dada por
Determine:
Os pontos de inflexão do gráfico de
, caso existam.
Os pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os pontos de inflexão do gráfico da função
. Ponto de inflexão é onde a curva muda sua concavidade, ou seja, passa de côncava para convexa ou vice-versa. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
, que nos dá a inclinação da função em cada ponto. Usaremos a regra do quociente, que diz que se temos
, então:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando
e
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar
:
Então, a derivada primeira fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada segunda
, que nos ajudará a identificar a concavidade da função. Usaremos novamente a regra do quociente para derivar
:
Aqui,
e
.
Passo 6
Calculando
e
:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente para a derivada segunda:
Vamos simplificar o numerador:
Calculando dentro dos colchetes:
Então, a derivada segunda fica:
Passo 8
Os pontos de inflexão ocorrem onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde
ou não está definida, desde que haja uma mudança na concavidade.
Vamos resolver
:
O numerador deve ser zero:
Além disso, a derivada segunda não está definida em
, mas esse ponto é uma assíntota vertical da função original, então não consideramos como ponto de inflexão.
Passo 9
Agora, precisamos verificar se há realmente uma mudança na concavidade nesse ponto
. Vamos analisar o sinal de
antes e depois desse valor.
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por
, esse é um ponto de inflexão.
Resposta
O gráfico da função
possui um ponto de inflexão no ponto
.