Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
(j) lim x 0^- 3x^2-x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
limxto0^-3x^2 - x
Isso envolve estudar limites de uma função racional e, antes de tudo, descobrir onde ela está definida (domínio) e depois ver como o denominador se comporta quando x se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 2

A função em questão é
f(x)=3x^2 - x
Para que f(x) exista, é preciso que o denominador seja diferente de zero, ou seja,
x^2 - x neq 0 Longrightarrow x(x-1)neq 0 Longrightarrow xneq 0 e xneq 1
Logo o domínio de f é Rsetminus0,1.

Passo 3

Para entender o limite quando xto0^-, fatoramos o denominador:
x^2 - x = x(x-1)
Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, temos:
  • x<0 (pequeno em módulo),
  • x-1<0 pois x<0<1.
    Assim o produto x(x-1) é o produto de dois números negativos, ou seja, positivo, e ainda tende a zero conforme xto0. Em símbolos:
xto0^-Longrightarrow x(x-1)to 0^+

Passo 4

Como o denominador tende a 0^+ e o numerador é 3>0, o quociente fica cada vez maior, portanto
3x^2 - x;longrightarrow;+infty quando xto0^-

Resposta

limxto0^-3x^2 - x=+infty

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