Calcule as derivadas das funções abaixo.
g(x)=sen(5 cdot log 3(x)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=senl(5cdotlog3(x)r). Aqui vamos usar dois ingredientes principais: a mudança de base para converter log3(x) em ln(x) e a regra da cadeia para funções compostas (seno de algo).

Passo 2

Primeiro, usamos a mudança de base:
log3(x) = ln(x)ln(3)
Logo podemos reescrever
g(x)=sen!l(5cdotln(x)ln(3)r) =sen!l(5ln(3),ln(x)r)

Passo 3

Identificamos a composição
g(x)=senl(u(x)r) com u(x)=5ln(3),ln(x)
Para derivar, aplicamos a regra da cadeia:
g'(x)=cosl(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=tfrac5ln(3)ln(x), temos
u'(x)=5ln(3)cdot1x =5x,ln(3)

Passo 5

Substituindo em g'(x)=cosl(u(x)r),u'(x), obtemos
g'(x) =cos!l(5ln(3)ln(x)r);5x,ln(3)

Resposta

g'(x) =5x,ln(3);cos!l(5,ln(x)ln(3)r)

Exercícios relacionados