Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
§ lim x 0 x^2 sen(1x)sen x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0x^2,sinl(1xr)sin x
se existe, e sugere observar o domínio da função f(x)=x^2sin(1/x)sin x. O conteúdo é cálculo de limite em zero usando equivalências de sin x e o teorema do confronto (squeeze).

Passo 2

Primeiro, o domínio de f exige sin xneq0, ou seja, xneq kpi. Para o limite em xto0 só nos preocupamos com x pequenos e não-nulos. Nesse vizinhança temos a equivalência clássica
sin xsim xquando xto0,
isto é, sin x/xto1.

Passo 3

Escrevemos
|x^2,sinl(1xr)sin x| =|x|^2,l|sinl(tfrac1xr)r||sin x| <=|x|^2|sin x|,
pois l|sin(1/x)r|<=1. Agora, usando sin xsim x, para x perto de zero existe um M>0 tal que l|sin xr|>=12|x|. Logo
|x^2,sinl(1xr)sin x| <=|x|^2tfrac12|x| =2,|x|
Como 2|x|to0 quando xto0, pelo teorema do confronto temos
x^2,sinl(tfrac1xr)sin x;longrightarrow;0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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