Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique. Além disso, procure observar (mesmo que implicitamente) qual é o domínio da função.
§
Passo 1
O enunciado pede o valor de
se existe, e sugere observar o domínio da função . O conteúdo é cálculo de limite em zero usando equivalências de e o teorema do confronto (squeeze).
Passo 2
Primeiro, o domínio de exige , ou seja, . Para o limite em só nos preocupamos com pequenos e não-nulos. Nesse vizinhança temos a equivalência clássica
isto é, .
Passo 3
Escrevemos
pois l|sin(1/x)r|<=1. Agora, usando sin xsim x, para x perto de zero existe um M>0 tal que l|sin xr|>=12|x|. Logo
|x^2,sinl(1xr)sin x| <=|x|^2tfrac12|x| =2,|x|
Como 2|x|to0 quando xto0, pelo teorema do confronto temos