Seja f uma função dada por
f(x)=1-x^2(x-2)^2
Determine:
As assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1 - x^2(x-2)^2
e pede as assíntotas horizontais. Para encontrar assíntotas horizontais, precisamos calcular os limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty.

Passo 2

Calcular limxto+inftyf(x). Para isso, dividimos numerador e denominador por x^2:
f(x) = 1 - x^2(x-2)^2 = x^2l(1x^2 - 1r)x^2l(1 - 4x + 4x^2r) = 1x^2 - 11 - 4x + 4x^2
À medida que xto+infty, os termos 1x^2, 4x e 4x^2 tendem a zero. Logo,
limxto+inftyf(x) = 0 - 11 - 0 + 0 = -1

Passo 3

Calcular limxto-inftyf(x). O mesmo procedimento vale quando xto-infty, pois dividir por x^2 elimina o sinal de x. Assim,
limxto-inftyf(x) = 0 - 11 - 0 + 0 = -1

Passo 4

Como ambos os limites no infinito (positivo e negativo) coincidem em -1, a reta y=-1 é a assíntota horizontal do gráfico de f.

Resposta

A única assíntota horizontal é
y = -1

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