Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim substack(x, y) (1,0) (x-1)^2 y(x-1)^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(1,0) (x-1)^2y(x-1)^4+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para existir, o valor tem de ser o mesmo independentemente da “trajetória” de aproximação ao ponto (1,0).

Passo 2

Faço a mudança de variáveis
u = x-1, v = y,
de modo que (x,y)to(1,0) equivale a (u,v)to(0,0) e a função vira
f(u,v) = u^2,vu^4+v^2
Se eu me aproximar pela reta u=0 (isto é, x=1), então
f(0,v) = 0^2cdot v0^4+v^2 = 0,
logo nessa direção o limite vale 0.

Passo 3

Agora aproximo pela parábola v = k,u^2 (ou seja, y = k,(x-1)^2). Substituindo em f(u,v):
fl(u,k,u^2r) = u^2,(k,u^2)u^4+(k,u^2)^2 = k,u^4u^4 + k^2,u^4 = k1 + k^2,
e esse valor não depende de u, de modo que ao levar uto0 o limite vale
k1+k^2

Passo 4

Como pela reta u=0 o limite deu 0 e pela parábola v=k,u^2 deu tfrack1+k^2, e isso muda conforme escolhemos k, concluímos que o valor não é único.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação a (1,0).

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