Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim senh(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
sinhl(x^2+y^2r)x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0).
O conteúdo envolve limites em duas variáveis e a ideia de usar coordenada radial r^2=x^2+y^2 para reduzir a um limite em variável única.

Passo 2

Defina t = x^2+y^2. Quando (x,y)to(0,0) tem-se tto0^+. A função torna-se
f(x,y) ;=;sinh(t)t,,
de modo que
lim(x,y)to(0,0)sinhl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =limtto0^+sinh(t)t,

Passo 3

Para calcular limtto0sinh(t)/t usamos a expansão de Taylor de sinh(t) em torno de t=0:
sinh(t)=t+t^36+O(t^5)
Dividindo por t obtém-se
sinh(t)t =1+t^26+O(t^4)
e, tomando tto0, o termo extra tende a zero.

Passo 4

Como o resultado 1 não depende da direção de chegada em (0,0), o limite bidimensional existe e vale esse mesmo valor.

Resposta

O limite existe e é igual a 1.

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