Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) 2 e^x^2 y-2x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A função é:
lim (x, y) (0,0) 2 e^x^2 y-2x^2 y
Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular exponenciais e limites, além de usar uma expansão em série da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando (x, y) se aproxima de (0, 0) .
No numerador: 2 e^x^2 y - 2
No denominador: x^2 y
Quando x e y vão para zero, x^2 y também vai para zero. Então, temos uma forma indeterminada do tipo 00 , o que significa que precisamos simplificar ou reescrever a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos focar no numerador 2 e^x^2 y - 2 . Podemos fatorar esse 2:
2 (e^x^2 y - 1)
Agora, sabemos que para valores pequenos de z , a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + dots
Aqui, z = x^2 y . Então, substituindo:
e^x^2 y = 1 + x^2 y + (x^2 y)^22! + (x^2 y)^33! + dots
Portanto,
e^x^2 y - 1 = x^2 y + (x^2 y)^22! + (x^2 y)^33! + dots

Passo 4

Voltando à nossa expressão original:
2 (e^x^2 y - 1)x^2 y = 2 ( x^2 y + (x^2 y)^22! + (x^2 y)^33! + dots )x^2 y
Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador x^2 y :
2 ( 1 + x^2 y2! + (x^2 y)^23! + dots )

Passo 5

Agora, observando que quando (x, y) se aproxima de (0, 0) , x^2 y vai para zero. Portanto, todos os termos que contêm x^2 y , (x^2 y)^2 , etc., vão para zero.
Logo, a expressão simplificada se aproxima de:
2 (1 + 0 + 0 + dots) = 2

Resposta

O limite é 2 .

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