Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função é:
Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular exponenciais e limites, além de usar uma expansão em série da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
.
No numerador:
No denominador:
Quando
e
vão para zero,
também vai para zero. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que precisamos simplificar ou reescrever a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos focar no numerador
. Podemos fatorar esse 2:
Agora, sabemos que para valores pequenos de
, a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor:
Aqui,
. Então, substituindo:
Portanto,
Passo 4
Voltando à nossa expressão original:
Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador
:
Passo 5
Agora, observando que quando
se aproxima de
,
vai para zero. Portanto, todos os termos que contêm
,
, etc., vão para zero.
Logo, a expressão simplificada se aproxima de:
Resposta
O limite é
.