Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é R 5,00 A empresa acredita que, reduzindo o preço em ç20% , o número de unidades vendidas será úá50%$ maior.
Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?

Passo 1

O enunciado diz que a empresa vende 200 unidades por mês ao preço unitário de R$ 5,00, e que uma redução de preço em 20% (ou seja, para R$ 4,00) faria as vendas subirem 50% (para 300 unidades). O conteúdo é otimização de receita com demanda linear.

Passo 2

Vamos modelar a função demanda Q(P) como uma reta que passa pelos pontos (P,Q)=(5,200) e (4,300). A inclinação da reta é
m = 300 - 2004 - 5 = 100-1 = -100
Logo podemos escrever
Q(P) = -100P + b
Substituindo P=5 e Q=200 em Q(P) obtém-se
200 = -100cdot 5 + b Longrightarrow b = 700
Portanto
Q(P) = 700 - 100P

Passo 3

A receita mensal R(P) é o produto do preço P pela quantidade vendida Q(P). Assim
R(P) = P cdot Q(P) = P,(700 - 100P) = 700P - 100P^2
Esta é uma parábola côncava para baixo, cujo máximo ocorre no vértice.

Passo 4

Para a função quadrática R(P) = -100P^2 + 700P, o preço que maximiza a receita é
Pmáx = -b2a com a=-100, b=700, á
logo
Pmáx = -7002cdot(-100) = 700200 = 3,5 á

Resposta

O preço que maximiza a receita é R$ 3,50.

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