Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim substack(x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim substack(x, y) (0,0) y^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(y^2+x^2)^2
Este exercício envolve o cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos pelos quais (x, y) se aproximam de (0,0). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde y = 0. Isso significa que estamos aproximando (x, y) de (0,0) ao longo do eixo x.
Substituindo y = 0 na função:
0^4 + 3x^2 cdot 0^2 + 2 cdot 0 cdot x^3(0^2 + x^2)^2 = 0x^4 = 0
Portanto, ao aproximar-se de (0,0) pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde x = 0. Assim, estamos aproximando (x, y) de (0,0) ao longo do eixo y.
Substituindo x = 0 na função:
y^4 + 3 cdot 0^2 cdot y^2 + 2 cdot 0^3 cdot y(y^2 + 0^2)^2 = y^4y^4 = 1
Portanto, ao aproximar-se de (0,0) pelo caminho x = 0, o limite é 1.

Passo 4

Observamos que ao calcular o limite por dois caminhos diferentes (y = 0 e x = 0) obtemos resultados distintos (0 e 1, respectivamente). Isso indica que o limite depende do caminho seguido para se aproximar de (0,0).

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos levam a diferentes valores.

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