Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, então precisamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho específico para nos aproximarmos de
. Um caminho comum é usar uma reta que passa pela origem, que pode ser representada por
, onde
é uma constante que define a inclinação da reta.
Passo 3
Substituindo
na expressão original, temos:
Aqui, cancelamos o
no numerador e denominador (desde que
):
Passo 4
Observamos que o valor do limite depende do valor de
, que define o caminho pelo qual estamos nos aproximando de
. Vamos testar alguns valores de
para ver como o limite se comporta:
Passo 5
-
Se
: -
Se
: Neste caso, o denominadorse torna , o que torna a expressão indefinida. Isso indica que não podemos usar . -
Se
:
Passo 6
Como vimos, diferentes valores de
resultam em diferentes valores para o limite:
- Para
, o limite é . - Para
, o limite é .
Isso mostra que o limite depende do caminho de aproximação escolhido. Em funções de duas variáveis, para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho seguido.
Resposta
O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.