Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim x+yx-y
(x, y) (0,0)

Passo 1

Vamos calcular o limite de x + yx - y quando (x, y) se aproxima de (0,0). Estamos trabalhando com funções de duas variáveis, então precisamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho específico para nos aproximarmos de (0,0). Um caminho comum é usar uma reta que passa pela origem, que pode ser representada por y = kx, onde k é uma constante que define a inclinação da reta.

Passo 3

Substituindo y = kx na expressão original, temos:
x + yx - y = x + kxx - kx = x(1 + k)x(1 - k)
Aqui, cancelamos o x no numerador e denominador (desde que x neq 0):
1 + k1 - k

Passo 4

Observamos que o valor do limite depende do valor de k, que define o caminho pelo qual estamos nos aproximando de (0,0). Vamos testar alguns valores de k para ver como o limite se comporta:

Passo 5

  • Se k = 0:
    1 + 01 - 0 = 11 = 1
  • Se k = 1:
    Neste caso, o denominador 1 - k se torna 0, o que torna a expressão indefinida. Isso indica que não podemos usar k = 1.
  • Se k = 2:
    1 + 21 - 2 = 3-1 = -3

Passo 6

Como vimos, diferentes valores de k resultam em diferentes valores para o limite:
  • Para k = 0, o limite é 1.
  • Para k = 2, o limite é -3.
Isso mostra que o limite depende do caminho de aproximação escolhido. Em funções de duas variáveis, para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho seguido.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.

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