Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)= 1e^2-1,&se r<1, 0,&se r>=1,
onde r=raizx^2+y^2. O que queremos é determinar todos os pontos (x,y)inR^2 em que f é contínua. Para isso, vamos usar dois fatos: (i) funções constantes são contínuas em qualquer ponto do seu domínio, (ii) para verificar continuidade numa fronteira de regiões, comparamos limites laterais.
Passo 2
Nos pontos tais que r<1, isto é, dentro do disco aberto de raio 1, temos
f(x,y)=1e^2-1,
uma constante. Como toda função constante é contínua em cada ponto do seu domínio, f é contínua em todo o conjunto (x,y)midraizx^2+y^2<1.
Passo 3
Nos pontos tais que r>1, isto é, fora do disco fechado de raio 1, temos
f(x,y)=0,
outra constante. Pelos mesmos argumentos, f é contínua em todo o conjunto (x,y)midraizx^2+y^2>1.
Passo 4
Agora analisamos a fronteira (x,y)mid r=1. Se (x0,y0) satisfaz raizx0^2+y0^2=1, então
lim(x,y)to(x0,y0),,r<1f(x,y) =1e^2-1neq0 e lim(x,y)to(x0,y0),,r>1f(x,y) =0
Como esses dois limites laterais são diferentes, o limite em (x0,y0) não existe e f não é contínua quando r=1.
Resposta
f é contínua em todos os pontos de R^2 tais que
raizx^2+y^2neq1,
ou seja, no disco aberto de raio 1 e no exterior do disco, e é descontinua exatamente na circunferência raizx^2+y^2=1.