Calcule, caso exista; ou caso contrário, justifique a não existência.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)to(0,0) senl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis no ponto (0,0), e a técnica mais direta é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta
Assim
x^2+y^2=r^2,
e a aproximação (x,y)to(0,0) corresponde a rto 0^+.

Passo 3

Substituindo na expressão original obtemos
senl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =senl(r^2r)r^2
Seja u=r^2. Quando rto0^+ temos uto0 e conhecemos o limite unidimensional
limuto0sen(u)u=1
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lim(x,y)to(0,0)senl(x^2+y^2r)x^2+y^2 =1

Resposta

O limite existe e vale 1.

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