Dado A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\\\ -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right), determine A^{-1}. R.: A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 / 2 \\\\ 0 & 1 / 3 & 1 / 6 \\\\ 1 / 2 & 1 / 6 & -2 / 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2 \\[4pt] -1 & 3 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar A^{-1}, a matriz inversa de A.
Informações relevantes fornecidas: os três elementos de cada linha e coluna da matriz A (veja acima).
O que é pedido: encontrar uma matriz B tal que
AB=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Essa matriz B é exatamente A^{-1}.]

Passo 2

Antes de tentar calcular a inversa, precisamos garantir que A é invertível. Uma condição prática: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A).
Para calcular \det(A) uso a expansão por cofatores ao longo da terceira linha (porque essa linha tem dois zeros, o que facilita):
\det(A)=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}.
Aqui a_{31}=2, a_{32}=0, a_{33}=0. O cofator C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=\det(M_{31}), onde M_{31} é a matriz obtida retirando a linha 3 e a coluna 1:
M_{31}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Logo
\det(M_{31}) = (-1)\cdot 0 - 2\cdot 3 = -6.
Portanto
\det(A)=2\cdot(-6)+0+0=-12.
Como \det(A)=-12\neq 0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}. Vamos calcular A^{-1} com o método de eliminação de Gauss–Jordan.
Explicação rápida do método (didática): na eliminação de Gauss–Jordan fazemos operações elementares nas linhas da matriz aumentada [A\,|\,I] até transformar o bloco da esquerda em I. As mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformam I em A^{-1}. Operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações são fáceis de executar à mão e são sistemáticas para a prova.]

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [A\,|\,I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Objetivo: transformar o bloco esquerdo em \,I_3 por operações de linha, e o bloco direito resultará em A^{-1}.
Vou realizar as operações passo a passo, explicando cada escolha e mantendo contas inteiras sempre que possível para evitar frações prematuras.
  1. Troco a linha 1 com a linha 2 para ter um pivô simples na primeira linha (o elemento -1 na posição (2,1) vira pivô):
R_1\leftrightarrow R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Multiplico a nova R_1 por -1 para obter 1 como pivô na posição (1,1):
R_1 := -R_1
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Zerar as entradas abaixo do pivô de primeira coluna (eliminar os 3 em (2,1) e o 2 em (3,1)) usando combinações inteiras:
R_2 := R_2 - 3R_1,\qquad R_3 := R_3 - 2R_1.
Cálculos:
  • R_2 nova: [3,-1,2] - 3[1,-3,0] = [0,8,2]. No bloco direito: [1,0,0] - 3[0,-1,0] = [1,3,0].
  • R_3 nova: [2,0,0] - 2[1,-3,0] = [0,6,0]. No bloco direito: [0,0,1] - 2[0,-1,0] = [0,2,1].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 8 & 2 & 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Continuamos a eliminação na segunda coluna. Para simplificar, faço uma combinação inteira que diminui os números: subtraio R_3 de R_2 (isso reduz 8 para 2 na posição (2,2)):
R_2 := R_2 - R_3.
Cálculos:
  • Bloco esquerdo: [0,8,2] - [0,6,0] = [0,2,2].
  • Bloco direito: [1,3,0] - [0,2,1] = [1,1,-1].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].
Agora divido R_2 por 2 para obter pivô 1 na posição (2,2):
R_2 := \tfrac{1}{2}R_2.
Cálculos:
  • Bloco esquerdo: [0,1,1].
  • Bloco direito: [\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -3 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 6 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Com pivô 1 em (2,2), zereo as outras entradas da segunda coluna:
  1. Elimino o -3 em (1,2):
R_1 := R_1 + 3R_2.
Cálculos:
  • Bloco esquerdo R_1: [1,-3,0] + 3[0,1,1] = [1,0,3].
  • Bloco direito R_1: [0,-1,0] + 3[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}] = [\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}].
  1. Elimino o 6 em (3,2):
R_3 := R_3 - 6R_2.
Cálculos:
  • Bloco esquerdo R_3: [0,6,0] - 6[0,1,1] = [0,0,-6].
  • Bloco direito R_3: [0,2,1] - 6[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}] = [0-3,\,2-3,\,1+3] = [-3,-1,4].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & -6 & -3 & -1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora a terceira coluna tem um pivô -6 em (3,3). Normalizo essa linha dividindo por -6:
R_3 := -\tfrac{1}{6}R_3.
Cálculos para o bloco direito:
[-3,-1,4]\cdot\left(-\tfrac{1}{6}\right) = \left[\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{6},\,-\tfrac{2}{3}\right].
Assim R_3 fica [0,0,1 \;|\; \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{3}].
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 3 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right].
Agora zereo as entradas acima do pivô em (3,3):
  1. Elimino o 3 em (1,3):
R_1 := R_1 - 3R_3.
Cálculos no bloco direito:
\left[\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right] - 3\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{3}\right] = \left[\tfrac{3}{2}-\tfrac{3}{2},\; \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\; -\tfrac{3}{2}+2\right] = [0,0,\tfrac{1}{2}].
Logo R_1 fica [1,0,0 \;|\; 0,0,\tfrac{1}{2}].
  1. Elimino o 1 em (2,3):
R_2 := R_2 - R_3.
Cálculos no bloco direito:
\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right] - \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{3}\right] = \left[0,\; \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6},\; -\tfrac{1}{2}+\tfrac{2}{3}\right] = \left[0,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\right].
Logo R_2 fica [0,1,0 \;|\; 0,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}].
Após essas eliminações obtivemos o bloco esquerdo igual à identidade I_3 e o bloco direito transformado na matriz inverse.]

Passo 7

Com o bloco esquerdo igual a I_3, o bloco direito é a matriz inversa A^{-1}. As linhas finais da matriz aumentada são:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{3} \end{array}\right].
Portanto o bloco direito (somente ele) é A^{-1}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}]

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