e pede para determinar A^{-1}, a matriz inversa de A.
Informações relevantes fornecidas: os três elementos de cada linha e coluna da matriz A (veja acima).
O que é pedido: encontrar uma matriz B tal que
AB=I,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Essa matriz B é exatamente A^{-1}.]
Passo 2
Antes de tentar calcular a inversa, precisamos garantir que A é invertível. Uma condição prática: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A).
Para calcular \det(A) uso a expansão por cofatores ao longo da terceira linha (porque essa linha tem dois zeros, o que facilita):
\det(A)=a_{31}C_{31}+a_{32}C_{32}+a_{33}C_{33}.
Aqui a_{31}=2, a_{32}=0, a_{33}=0. O cofator C_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=\det(M_{31}), onde M_{31} é a matriz obtida retirando a linha 3 e a coluna 1:
Como \det(A)=-12\neq 0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}. Vamos calcular A^{-1} com o método de eliminação de Gauss–Jordan.
Explicação rápida do método (didática): na eliminação de Gauss–Jordan fazemos operações elementares nas linhas da matriz aumentada [A\,|\,I] até transformar o bloco da esquerda em I. As mesmas operações aplicadas ao bloco da direita transformam I em A^{-1}. Operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações são fáceis de executar à mão e são sistemáticas para a prova.]
Continuamos a eliminação na segunda coluna. Para simplificar, faço uma combinação inteira que diminui os números: subtraio R_3 de R_2 (isso reduz 8 para 2 na posição (2,2)):