Calcule, caso exista, A^{-1} :
A=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas: os elementos de A são a=3, b=1, c=2, d=4. A tarefa é encontrar A^{-1} tal que
A\,A^{-1}=I_{2},
onde I_{2} é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 2

Primeiro conceito importante: uma matriz quadrada 2\times2,
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
é invertível se, e somente se, seu determinante \det(A)=ad-bc for diferente de zero. Vou explicar por que rapidamente: se \det(A)\neq0, existe uma matriz chamada adjunta (ou adjugata) \operatorname{adj}(A) tal que
A\cdot\operatorname{adj}(A)=(ad-bc)\,I_{2},
logo dividindo por (ad-bc) obtemos A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\operatorname{adj}(A). Para 2\times2, a adjunta é obtida trocando a e d e trocando o sinal de b e c:
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculemos o determinante de A. Usando \det(A)=ad-bc com a=3, b=1, c=2, d=4:
\det(A)=3\cdot4-1\cdot2=12-2=10.
Como \det(A)=10\neq0, a inversa existe. Ótimo — vamos em frente!

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para a inversa de uma 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Substituindo os valores e o determinante calculado:
A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicando o escalar \dfrac{1}{10} nas entradas da matriz:
A^{-1}=\begin{pmatrix}4/10 & -1/10 \\[4pt] -2/10 & 3/10\end{pmatrix}.
Simplificando as frações:
A^{-1}=\begin{pmatrix}2/5 & -1/10 \\[4pt] -1/5 & 3/10\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para ter certeza e treinar como checar na prova, faço a verificação rápida multiplicando A por A^{-1} e mostrando que dá a identidade. Calculemos A\cdot A^{-1}:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
3\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{6}{5}-\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1.
Elemento (linha 1, coluna 2):
3\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)+1\cdot\frac{3}{10}=-\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=0.
Elemento (linha 2, coluna 1):
2\cdot\frac{2}{5}+4\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}=0.
Elemento (linha 2, coluna 2):
2\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)+4\cdot\frac{3}{10}=-\frac{2}{10}+\frac{12}{10}=\frac{10}{10}=1.
Como o produto é a matriz identidade, a inversa está correta.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{10} \\[6pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{10}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados