O enunciado pede para calcular, se existir, A^{-1} onde
A=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]6 & 3\end{pmatrix}.
Informações dadas: os quatro elementos da matriz A são a_{11}=4, a_{12}=2, a_{21}=6 e a_{22}=3. A pergunta única é: existe a matriz inversa A^{-1}? Se sim, qual é ela; se não, declarar que não existe.]
Passo 2
O que significa A^{-1}: para uma matriz quadrada A de ordem 2, a matriz inversa A^{-1} é uma matriz que satisfaz
A\,A^{-1}=A^{-1}A=I_2,
onde I_2 é a matriz identidade 2\times2. Em palavras: multiplicando A pela sua inversa obtemos a identidade. Nem toda matriz tem inversa; é preciso verificar a condição de existência.
Passo 3
Fórmula prática para matrizes 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então definimos o determinante de A por
\det(A)=ad-bc.
A regra importante: A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Quando \det(A)\neq 0, a inversa é dada por
Explicando as letras: a,b,c,d são os elementos da matriz A na ordem escrita; \det(A) é um número escalar. Se \det(A)=0, a expressão acima envolveria divisão por zero e a matriz não tem inversa.]
Passo 4
Aplicando a fórmula do determinante à nossa matriz: aqui a=4, b=2, c=6, d=3. Calculemos
\det(A)=ad-bc = 4\cdot 3 - 6\cdot 2.
Façamos as multiplicações passo a passo:
4\cdot 3 = 12,
6\cdot 2 = 12.
Logo
\det(A)=12-12=0.
Passo 5
Interpretação do resultado: como \det(A)=0, a condição necessária e suficiente para existir a inversa não é satisfeita. Portanto não existe a matriz A^{-1}. Não podemos dividir por zero, e a fórmula do passo anterior fica indefinida.
Passo 6
Intuição geométrica / alternativa (ajuda a decorar o porquê): determinante zero significa que as colunas (ou linhas) de A são linearmente dependentes — isto é, não formam uma base do espaço \mathbb{R}^2. Observando as colunas de A,
vemos que \text{coluna}_1 = 2\cdot\text{coluna}_2 (pois 2\cdot(2,3)=(4,6)). Como uma coluna é múltipla escalar da outra, as colunas são dependentes e a matriz tem posto 1 em vez de 2. Isso impede a existência de inversa, porque uma transformação linear associada a A comprime o plano numa reta, não sendo bijetiva.]
Passo 7
Resumo prático para a prova: sempre calcule primeiro \det(A). Se \det(A)=0, conclua imediatamente que A^{-1} não existe; se \det(A)\neq 0, use a fórmula do passo 3 para obter A^{-1}.