Calcule, caso exista,
e
. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que você me enviou. Temos dois limites para calcular quando
se aproxima de 0:
Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para resolver isso. Precisaremos entender como o comportamento da função cosseno e a multiplicação por
afetam o limite.
Passo 2
Vamos resolver o primeiro limite:
.
Primeiro, lembre-se que a função cosseno sempre está entre -1 e 1. Ou seja,
Multiplicando todos os lados por
(que é sempre positivo, já que
para qualquer
):
Agora, vamos analisar os limites de
e
quando
se aproxima de 0:
Como ambos os limites das extremidades são iguais a 0, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche), podemos concluir que:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
.
Aqui, o que acontece com
quando
se aproxima de 0? Seja
positivo ou negativo,
é positivo, então
tende ao infinito à medida que
se aproxima de 0.
Então, estamos olhando para
de algo que está indo para o infinito. A função cosseno é periódica, com valores oscilando entre -1 e 1, e não se estabiliza em nenhum valor específico quando o ângulo cresce sem limite. Isso significa que
vai continuar oscilando cada vez mais rápido entre -1 e 1 conforme
se aproxima de 0.
Como o cosseno não se aproxima de nenhum valor único neste caso, o limite não existe.
Resposta
-
-
não existe.