Calcule, caso exista, lim x 0 x^4 cdot cos (1x^2) e lim x 0 cos (1x^2). Caso não exista, explique o porquê.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você me enviou. Temos dois limites para calcular quando se aproxima de 0:
Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para resolver isso. Precisaremos entender como o comportamento da função cosseno e a multiplicação por afetam o limite.

Passo 2

Vamos resolver o primeiro limite: -1 <= cos(1x^2) <= 1 .
Primeiro, lembre-se que a função cosseno sempre está entre -1 e 1. Ou seja,
- x^4 <= x^4 cdot cos(1x^2) <= x^4
Multiplicando todos os lados por limx 0 -x^4 = 0 e limx 0 x^4 = 0 (que é sempre positivo, já que limx 0 x^4 cdot cos(1x^2) = 0 para qualquer ):
Agora, vamos analisar os limites de e quando se aproxima de 0:
Como ambos os limites das extremidades são iguais a 0, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche), podemos concluir que:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: .
Aqui, o que acontece com quando se aproxima de 0? Seja positivo ou negativo, é positivo, então tende ao infinito à medida que se aproxima de 0.
Então, estamos olhando para de algo que está indo para o infinito. A função cosseno é periódica, com valores oscilando entre -1 e 1, e não se estabiliza em nenhum valor específico quando o ângulo cresce sem limite. Isso significa que vai continuar oscilando cada vez mais rápido entre -1 e 1 conforme se aproxima de 0.
Como o cosseno não se aproxima de nenhum valor único neste caso, o limite não existe.

Resposta

  1. não existe.

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