Prove, usando a definição formal de limite, que
para
constante e que
para todo
, isto é, que as funções constante e
são contínuas em R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de uma função constante
e que
. Isso tudo usa o conceito de limite, que é básico no estudo de funções contínuas. Vamos precisar entender a definição formal de limite para fazer essas provas.
Passo 2
Vamos começar provando que
onde
é uma constante. Segundo a definição de limite, precisamos mostrar que para qualquer número positivo
, existe um
tal que se
, então
, onde
é o limite.
Passo 3
No caso da função constante
, queremos provar que
. Vamos aplicar a definição:
- Seja
qualquer. - Queremos que
. - Como
, temos para qualquer . - Isso significa que podemos escolher qualquer valor positivo para
porque a condição já é satisfeita.
Portanto, para todo
, podemos escolher
(ou qualquer outro positivo), e a definição de limite é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos provar que
. Usando a definição formal de limite, precisamos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 5
Aqui está como fazemos:
- Seja
qualquer. - Queremos que
. - Observamos que a própria condição
pode ser usada diretamente. - Portanto, basta escolher
. - Assim, se
, então , como queríamos.
Isso confirma que o limite de
quando
se aproxima de
é realmente
.
Resposta
Usando a definição formal de limite, provamos que
para qualquer constante
e que
, demonstrando que as funções constante e
são contínuas em
.