Prove, usando a definição formal de limite, que lim x a k=k para k in R constante e que lim x a x=a para todo a in R, isto é, que as funções constante e f(x)=x são contínuas em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de uma função constante e que . Isso tudo usa o conceito de limite, que é básico no estudo de funções contínuas. Vamos precisar entender a definição formal de limite para fazer essas provas.

Passo 2

Vamos começar provando que onde é uma constante. Segundo a definição de limite, precisamos mostrar que para qualquer número positivo , existe um tal que se , então , onde é o limite.

Passo 3

No caso da função constante , queremos provar que . Vamos aplicar a definição:
  1. Seja qualquer.
  2. Queremos que .
  3. Como , temos para qualquer .
  4. Isso significa que podemos escolher qualquer valor positivo para porque a condição já é satisfeita.
Portanto, para todo , podemos escolher (ou qualquer outro positivo), e a definição de limite é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos provar que . Usando a definição formal de limite, precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 5

Aqui está como fazemos:
  1. Seja qualquer.
  2. Queremos que .
  3. Observamos que a própria condição pode ser usada diretamente.
  4. Portanto, basta escolher .
  5. Assim, se , então , como queríamos.
Isso confirma que o limite de quando se aproxima de é realmente .

Resposta

Usando a definição formal de limite, provamos que para qualquer constante e que , demonstrando que as funções constante e são contínuas em .

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