Calcule os seguintes limites usando o Teorema da (b) lim x 2^+ |x-2|raizx^2-4

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular o limite . Estamos trabalhando com o conceito de limites em cálculo, especialmente envolvendo valores absolutos e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar saber como simplificar expressões com módulo e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que está se aproximando de 2 vindo da direita, ou seja, valores de maiores que 2, mas muito próximos de 2. Essa informação é importante para lidar com o valor absoluto na expressão.

Passo 3

Como |x - 2| = x - 2 está se aproximando de 2 pela direita ( |x - 2|raizx^2-4 = x - 2raizx^2-4 ), podemos simplificar o valor absoluto . Quando a expressão dentro do módulo é positiva, o valor absoluto simplesmente remove o módulo:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar a expressão dentro da raiz:
raizx^2-4 = raiz(x - 2)(x + 2) = raizx - 2 cdot raizx + 2
Portanto,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos:
x - 2raizx^2-4 = x - 2raizx - 2 cdot raizx + 2 = raizx - 2raizx + 2
Agora, vamos calcular o limite:
limx 2^+ raizx - 2raizx + 2 = raiz2 - 2raiz2 + 2 = 02 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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