Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
, que é o versor de
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de derivada direcional, que envolve o cálculo do gradiente da função e a normalização do vetor de direção. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o versor
na direção de
. Um versor é um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
A fórmula para encontrar o versor é:
onde
e
é o comprimento do vetor
.
Vamos calcular o comprimento de
:
Então, o versor
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A função dada é:
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente
é:
Passo 4
Com o gradiente calculado, vamos avaliá-lo no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
onde
representa o produto escalar entre os vetores.
Usando os valores que encontramos:
O produto escalar será:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.