Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=e^x^2-y^2,(x0, y0)=(1,1), e u é o versor de 3 i+4 j.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor , que é o versor de .
Para resolver isso, vamos precisar utilizar o conceito de derivada direcional, que envolve o cálculo do gradiente da função e a normalização do vetor de direção. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o versor u = v||v|| na direção de ||v|| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 . Um versor é um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1.
A fórmula para encontrar o versor é:
u = 3i + 4j5 = ( 35, 45 )
onde e é o comprimento do vetor .
Vamos calcular o comprimento de :
Então, o versor é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função f(x, y) = e^x^2 - y^2 . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = e^x^2 - y^2 cdot 2x em relação a partial fpartial y = e^x^2 - y^2 cdot (-2y) e nabla f = ( 2x e^x^2 - y^2, -2y e^x^2 - y^2 ) .
A função dada é:
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Com o gradiente calculado, vamos avaliá-lo no ponto nabla f(1, 1) = ( 2 cdot 1 cdot e^1^2 - 1^2, -2 cdot 1 cdot e^1^2 - 1^2 ) = ( 2e^0, -2e^0 ) = (2 cdot 1, -2 cdot 1) = (2, -2) . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando a fórmula:
partial fpartial u = nabla f cdot u
onde nabla f(1, 1) = (2, -2) u = ( 35, 45 ) representa o produto escalar entre os vetores.
Usando os valores que encontramos:
partial fpartial u = 2 cdot 35 + (-2) cdot 45 = 65 - 85 = -25
O produto escalar será:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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