Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=e^y / x ; x=2 r cos t ; y=4 r sen t ; partial upartial r ; partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar entender como depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x = 2 r cos t explicitamente em função de y = 4 r sen t e u = e^yx = e^4 r sen t2 r cos t = e^4 sen t2 cos t = e^2 tan t . Sabemos que:
Substituindo e em :
Isso simplifica bastante, mas para aplicar a regra da cadeia, vamos seguir o método passo a passo.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que, se partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r depende de partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t e , e e dependem de e , então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u = e^y / x em relação a partial upartial x = e^y / x cdot ( -yx^2 ) e partial upartial y = e^y / x cdot ( 1x ) :
Usando a regra da derivação de funções exponenciais:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas de x = 2 r cos t Rightarrow partial xpartial r = 2 cos t e partial xpartial t = -2 r sen t e y = 4 r sen t Rightarrow partial ypartial r = 4 sen t e partial ypartial t = 4 r cos t em relação a e :

Passo 6

Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r :
partial upartial r = ( e^y / x cdot ( -yx^2 ) ) cdot 2 cos t + ( e^y / x cdot 1x ) cdot 4 sen t
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar:
Substituindo e partial upartial r = -2 cos t cdot yx^2 cdot e^y/x + 4 sen t cdot 1x cdot e^y/x :
Simplificando os termos:
partial upartial r = -2 cos t cdot 4 r sen t(2 r cos t)^2 cdot e^(4 r sen t)/(2 r cos t) + 4 sen t cdot 12 r cos t cdot e^(4 r sen t)/(2 r cos t)
Então, a derivada parcial de partial upartial r = -2 cos t cdot 4 r sen t4 r^2 cos^2 t cdot e^2 tan t + 4 sen t cdot 12 r cos t cdot e^2 tan t em relação a partial upartial r = -2 cos t cdot 4 r sen t4 r^2 cos^2 t cdot e^2 tan t + 4 sen t2 r cos t cdot e^2 tan t é zero.

Passo 8

Agora, vamos calcular partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t usando a regra da cadeia:
partial upartial t = ( e^y / x cdot ( -yx^2 ) ) cdot (-2 r sen t) + ( e^y / x cdot 1x ) cdot 4 r cos t
Substituindo as derivadas que já calculamos:

Passo 9

Simplificando:
Substituindo e partial upartial t = 2 r sen t cdot yx^2 cdot e^y/x + 4 r cos t cdot 1x cdot e^y/x :
Simplificando os termos:
Sabendo que :
partial upartial t = 2 r sen t cdot 4 r sen t(2 r cos t)^2 cdot e^2 tan t + 4 r cos t cdot 12 r cos t cdot e^2 tan t

Resposta

partial upartial r = 0 e partial upartial t = 2 sec^2 t cdot e^2 tan t

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