Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas parciais e a aplicação da regra da cadeia para funções compostas. Vamos precisar entender como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
explicitamente em função de
e
. Sabemos que:
Substituindo
e
em
:
Isso simplifica bastante, mas para aplicar a regra da cadeia, vamos seguir o método passo a passo.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos diz que, se
depende de
e
, e
e
dependem de
e
, então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Usando a regra da derivação de funções exponenciais:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 6
Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para
:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar:
Substituindo e
:
Simplificando os termos:
Então, a derivada parcial de
em relação a
é zero.
Passo 8
Agora, vamos calcular
usando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que já calculamos:
Passo 9
Simplificando:
Substituindo e
:
Simplificando os termos:
Sabendo que :