Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Suponha que f é seccionalmente contínua em [0, infty).
a) Prove: Se a integral integral0^infty e^-s x f(x) d x converge para s=s0, então ela converge para s>s0.
b) Mostre que se f(t) >= 0 e Lf(t) existe para s=s0, então Lf(t) também existe para s>s0.

Passo 1

O enunciado diz que f é seccionalmente contínua em [0,infty) e que a integral
integral0^inftye^-s xf(x),dx
converge para s=s0. Queremos mostrar em (a) que, a partir dessa hipótese, a mesma integral converge para todo s>s0, e em (b) que, se além disso f(t)>=0, então a conclusão vale da mesma forma.

Passo 2

Prova do item (a). Seja s>s0. Note que para todo x>=0 vale
e^-s x = e^-(s-s0)x,e^-s0x <= 1cdot e^-s0x =e^-s0x,
pois s-s0>0 implica e^-(s-s0)x<=1. Assim, em módulo,
l|e^-s xf(x)r| <= e^-s0xl|f(x)r|
Pelo ponto de partida sabemos que
integral0^inftye^-s0xl|f(x)r|,dx
converge (é a convergência absoluta da transformada em s0). Logo, pelo teste de comparação de integrales improprias, segue que
integral0^inftye^-s xf(x),dx
converge absolutamente para todo s>s0.

Passo 3

Prova do item (b). Se f(t)>=0, então e^-s xf(x) é não negativo, e temos a mesma desigualdade
0<= e^-s xf(x)<= e^-s0xf(x)
Como integral0^inftye^-s0xf(x),dx converge por hipótese, o teste de comparação garante que
integral0^inftye^-s xf(x),dx
também converge (basta que a integral majorante seja finita). Portanto a transformada de Laplace existe para todo s>s0.

Resposta

a) A integral integral0^inftye^-s xf(x),dx converge para todo s>s0 por comparação com o caso s0.
b) Se f(t)>=0, a mesma comparação mostra que a transformada de Laplace existe também para s>s0.

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