Capítulo 6: A Transformada de Laplace
Seção 6.1: Suponha que é seccionalmente contínua em .
a) Prove: Se a integral converge para , então ela converge para .
b) Mostre que se e existe para , então também existe para .
Passo 1
O enunciado diz que é seccionalmente contínua em e que a integral
converge para . Queremos mostrar em (a) que, a partir dessa hipótese, a mesma integral converge para todo , e em (b) que, se além disso , então a conclusão vale da mesma forma.
Passo 2
Prova do item (a). Seja . Note que para todo vale
pois implica . Assim, em módulo,
Pelo ponto de partida sabemos que
integral0^inftye^-s0xl|f(x)r|,dx
converge (é a convergência absoluta da transformada em s0). Logo, pelo teste de comparação de integrales improprias, segue que
integral0^inftye^-s xf(x),dx
converge absolutamente para todo s>s0.
Passo 3
Prova do item (b). Se f(t)>=0, então e^-s xf(x) é não negativo, e temos a mesma desigualdade
0<= e^-s xf(x)<= e^-s0xf(x)
Como integral0^inftye^-s0xf(x),dx converge por hipótese, o teste de comparação garante que
integral0^inftye^-s xf(x),dx
também converge (basta que a integral majorante seja finita). Portanto a transformada de Laplace existe para todo s>s0.
Resposta
a) A integral integral0^inftye^-s xf(x),dx converge para todo s>s0 por comparação com o caso s0.
b) Se f(t)>=0, a mesma comparação mostra que a transformada de Laplace existe também para s>s0.